从能量角度出发
理想情况下无能量损失 得到方程
\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2=E_0
微分形式
m\left(\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\right)^2+kx^2=2E_0
分离变量
\sqrt{\frac{m}{2E_0-kx^2}}\mathrm dx=\mathrm dt
两边积分
\sqrt{\frac{m}{2E_0}}\int{\frac{1}{\sqrt{1-\frac{k}{2E_0}x^2}}\mathrm dx}=\int{\mathrm dt}
换元令
u=\sqrt{\frac{k}{2E_0}}x
则
\sqrt{\frac{m}{k}}\int{\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\mathrm du}=\int{\mathrm dt}
即
\sqrt{\frac{m}{k}}(\arcsin{u}+C_1)=t+C_2
回代得
\sqrt{\frac{m}{k}}\left(\arcsin{\sqrt{\frac{k}{2E_0}}x}+C_1\right)=t+C_2
注意到 \sqrt{\frac{m}{k}} 为常数，故可合并常数
\sqrt{\frac{m}{k}}\left(\arcsin{\sqrt{\frac{k}{2E_0}}x}+\varphi\right)=t
整理得
x=\sqrt{\frac{2E_0}{k}}\sin{\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t+\varphi\right)}
由此可得简谐运动最大振幅 A=\sqrt{\frac{2E_0}{k}} ，周期 T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} ，初相位 \varphi
从受力角度出发
根据简谐运动回复力定义 得到方程
-kx=ma
即
kx+mx''=0
特征方程
k+m\lambda^2=0
得到
\lambda=\pm\sqrt{\frac{k}{m}}i
于是有
% \begin{align*}
x=C_1 e^{\lambda_1 t}+C_2 e^{\lambda_2 t}\\
% &=C_1\left(\cos\sqrt{\frac{k}{m}}t+i\sin\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)+C_2\left(\cos{-\sqrt{\frac{k}{m}}}t+i\sin{-\sqrt{\frac{k}{m}}}t\right)\\
% &=(C_1+C_2)\cos\sqrt{\frac{k}{m}}t+(C_1-C_2)i\sin\sqrt{\frac{k}{m}}t
% \end{align*}
由于
x\in\R
所以
x=\overline{x}
即
C_1 e^{\lambda_1 t}+C_2 e^{\lambda_2 t}=\overline{C_1}e^{-\lambda_1 t}+\overline{C_2}e^{-\lambda_2 t}
又因为
\lambda_1+\lambda_2=0
故
C_1=\overline{C_2}
不妨设
C_1=re^{i\varphi},\space C_2=re^{-i\varphi}
所以
\begin{aligned}
x&=re^{\lambda_1 t+\varphi}+re^{\lambda_2 t-\varphi}\\
&=re^{\lambda_1 t+\varphi}+re^{-(\lambda_1 t+\varphi)}\\
&=2r\cos{(\lambda_1 t+\varphi)}
\end{aligned}
即可得
x=x_0\cos{\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t+\varphi\right)}
显然和上一个方法的结果是自洽的