定积分
一重积分
\int_{a}^{b}f(x)dx
几何意义：曲线 f(x) 与 x 轴围成的曲边梯形的有向面积
物理意义：以 f(x) 为线密度函数的曲线在 [a,b] 上的质量
计算时可使用牛顿-莱布尼茨公式
\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)
其中 F(x) 为 f(x) 的原函数，即 F'(x)=f(x)
二重积分
\iint_{D}f(x,y)d\sigma
几何意义：曲面 f(x,y) 与 xy 平面围成的柱体的有向面积
物理意义：
- 以 f(x,y) 为面密度函数的平面在区域 D 上的质量
- 以 f(x,y) 为压强函数的平面在区域 D 上受到的压力
计算时可在平面直角坐标系中画出 D ，确定 x 和 y 的范围（根据实际情况选定一个量表示另一个量的范围），将二重积分化为两个嵌套的一重积分，即
\iint_{D}f(x,y)d\sigma=\int_{a}^{b}\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}f(x,y)dydx
或
\iint_{D}f(x,y)d\sigma=\int_{a}^{b}\int_{\phi(y)}^{\psi(y)}f(x,y)dxdy
然后从内向外依次求解
也可以化为极坐标形式进行计算，即换元 (x,y)\to (r\cos\theta,r\sin\theta) （注意此时 dxdy\to \boldsymbol{r}drd\theta ），在平面极坐标系中画出 D ，确定 r 和 \theta 的范围，于是有
\iint_{D}f(x,y)d\sigma=\iint_{D}g(r,\theta)d\sigma=\int_{a}^{b}\int_{\phi(\theta)}^{\psi(\theta)}g(r,\theta)rdrd\theta
三重积分
\iiint_{\Omega}f(x,y,z)
几何意义：曲体 f(x,y,z) 与 xyz 三维体围成的四维体的“体积”
物理意义：以 f(x,y,z) 为体密度函数的物体在 \Omega 上的质量
计算方法可以类比二重积分，这里不再赘述（其实是因为我不会:-）
曲线积分
第一类曲线积分（对弧长）
\int_{L}f(x,y)ds
根据几何关系，有
ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}
对于一般的曲线，由参数方程 x=\phi(t),y=\psi(t) 给出（其中 t \in [a,b] ），则有
ds=\sqrt{(\phi'(t)dt)^2+(\psi'(t)dt)^2}=\sqrt{(\phi'(t))^2+(\psi'(t))^2}\space dt
于是可化为一般的定积分
\int_{L}f(x,y)ds=\int_{a}^{b}f(\phi(t),\psi(t))\sqrt{(\phi'(t))^2+(\psi'(t))^2}\space dt
对于由函数 y=y(x) 给出的曲线（其中 x \in [a,b] ），则有
ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}\space dx=\sqrt{1+(y'(x))^2}\space dx
也可化为一般的定积分
\int_{L}f(x,y)ds=\int_{a}^{b}f(x,y(x))\sqrt{1+(y'(x))^2}\space dx
特别地，若令 f(x,y)=1 ，则得到弧长公式
l=\int_{L}dx=\int_{a}^{b}\sqrt{1+(y'(x))^2}\space dx