一道小题

本来是想用markdown写了再复制到PPT里的 但是这byd PowerPoint不支持 也不能白写 就放着吧

题目

$f(x)=a(x-1)-\ln x+1$，$a\le 2$且 $x>1$，求证$f(x)<e^{x-1}$恒成立

即证 $g(x)=e^{x-1}-a(x-1)+\ln x-1>0$恒成立

将 $g(x)$看作 $G(a)=(1-x)a+(e^{x-1}+\ln x-1)$

$\because 1-x<0$

$\therefore G(a)$单调递减，$g(x)\ge G(2)=e^{x-1}-2x+\ln x+1$

令 $h(x)=e^{x-1}-2x+\ln x+1$

即证 $h(x)>0$恒成立

方法一：直接求导

$h’(x)=e^{x-1}-2+\frac{1}{x}$

$h’‘(x)=e^{x-1}-\frac{1}{x^2}$单调递增

$\therefore h’‘(x)>h’‘(1)=0$

$\therefore h’(x)$单调递增

$\therefore h’(x)>h’(1)=0$

$\therefore h(x)$单调递增

$\therefore h(x)>h(1)=0$得证

方法二：同构

即证 $e^{x-1}-(x-1)+\ln x-x>0$

即证$e^{x-1}-(x-1)>x-\ln x$

即证$e^{x-1}-(x-1)>e^{\ln x}-\ln x$

令 $p(x)=e^x-x$

即证$p(x-1)>p(\ln x)$

又$\because p’(x)=e^x-1>0$，$p(x)$单调递增

即证 $x-1>\ln x$

$q(x)=x-\ln x-1$，$q’(x)=1-\frac{1}{x}>0$，$q(x)>q(1)=0$，$x-1>\ln x$

上式显然成立