一些简谐运动的运动学方程推导

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一些简谐运动的运动学方程推导
2025-02-22
数学
数学
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物理
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推导

从能量角度出发#

理想情况下无能量损失 得到方程

12mv2+12kx2=E0\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2=E_0

微分形式

m(dxdt)2+kx2=2E0m\left(\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\right)^2+kx^2=2E_0

分离变量

m2E0−kx2dx=dt\sqrt{\frac{m}{2E_0-kx^2}}\mathrm dx=\mathrm dt

两边积分

m2E0∫11−k2E0x2dx=∫dt\sqrt{\frac{m}{2E_0}}\int{\frac{1}{\sqrt{1-\frac{k}{2E_0}x^2}}\mathrm dx}=\int{\mathrm dt}

换元令

u=k2E0xu=\sqrt{\frac{k}{2E_0}}x

则

mk∫11−u2du=∫dt\sqrt{\frac{m}{k}}\int{\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\mathrm du}=\int{\mathrm dt}

即

mk(arcsin⁡u+C1)=t+C2\sqrt{\frac{m}{k}}(\arcsin{u}+C_1)=t+C_2

回代得

mk(arcsin⁡k2E0x+C1)=t+C2\sqrt{\frac{m}{k}}\left(\arcsin{\sqrt{\frac{k}{2E_0}}x}+C_1\right)=t+C_2

注意到 mk\sqrt{\frac{m}{k}} 为常数，故可合并常数

mk(arcsin⁡k2E0x+φ)=t\sqrt{\frac{m}{k}}\left(\arcsin{\sqrt{\frac{k}{2E_0}}x}+\varphi\right)=t

整理得

x=2E0ksin⁡(kmt+φ)x=\sqrt{\frac{2E_0}{k}}\sin{\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t+\varphi\right)}

由此可得简谐运动最大振幅 A=2E0kA=\sqrt{\frac{2E_0}{k}} ，周期 T=2πmkT=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} ，初相位 φ\varphi

从受力角度出发#

根据简谐运动回复力定义 得到方程

−kx=ma-kx=ma

即

kx+mx′′=0kx+mx''=0

特征方程

k+mλ2=0k+m\lambda^2=0

得到

λ=±kmi\lambda=\pm\sqrt{\frac{k}{m}}i

于是有

x=C1eλ1t+C2eλ2t% \begin{align*} x=C_1 e^{\lambda_1 t}+C_2 e^{\lambda_2 t}\\ % &=C_1\left(\cos\sqrt{\frac{k}{m}}t+i\sin\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)+C_2\left(\cos{-\sqrt{\frac{k}{m}}}t+i\sin{-\sqrt{\frac{k}{m}}}t\right)\\ % &=(C_1+C_2)\cos\sqrt{\frac{k}{m}}t+(C_1-C_2)i\sin\sqrt{\frac{k}{m}}t % \end{align*}

由于

x∈Rx\in\R

所以

x=x‾x=\overline{x}

即

C1eλ1t+C2eλ2t=C1‾e−λ1t+C2‾e−λ2tC_1 e^{\lambda_1 t}+C_2 e^{\lambda_2 t}=\overline{C_1}e^{-\lambda_1 t}+\overline{C_2}e^{-\lambda_2 t}

又因为

λ1+λ2=0\lambda_1+\lambda_2=0

故

C1=C2‾C_1=\overline{C_2}

不妨设

C1=reiφ, C2=re−iφC_1=re^{i\varphi},\space C_2=re^{-i\varphi}

所以

x=reλ1t+φ+reλ2t−φ=reλ1t+φ+re−(λ1t+φ)=2rcos⁡(λ1t+φ)\begin{aligned} x&=re^{\lambda_1 t+\varphi}+re^{\lambda_2 t-\varphi}\\ &=re^{\lambda_1 t+\varphi}+re^{-(\lambda_1 t+\varphi)}\\ &=2r\cos{(\lambda_1 t+\varphi)} \end{aligned}

即可得

x=x0cos⁡(kmt+φ)x=x_0\cos{\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t+\varphi\right)}

显然和上一个方法的结果是自洽的

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一些简谐运动的运动学方程推导
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作者
真-大沙子
发布于
2025-02-22
许可协议
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