二重积分# ∬ D f ( x , y ) d σ \iint_{D}f(x,y)d\sigma ∬ D f ( x , y ) d σ f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) x y xy x y
以 f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) D D D
以 f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) D D D
计算时可在平面直角坐标系中画出 D D D x x x y y y ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ a b ∫ ϕ ( x ) ψ ( x ) f ( x , y ) d y d x \iint_{D}f(x,y)d\sigma=\int_{a}^{b}\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}f(x,y)dydx ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ a b ∫ ϕ ( x ) ψ ( x ) f ( x , y ) d y d x ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ a b ∫ ϕ ( y ) ψ ( y ) f ( x , y ) d x d y \iint_{D}f(x,y)d\sigma=\int_{a}^{b}\int_{\phi(y)}^{\psi(y)}f(x,y)dxdy ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ a b ∫ ϕ ( y ) ψ ( y ) f ( x , y ) d x d y
也可以化为极坐标形式进行计算，即换元 ( x , y ) → ( r cos θ , r sin θ ) (x,y)\to (r\cos\theta,r\sin\theta) ( x , y ) → ( r cos θ , r sin θ ) d x d y → r d r d θ dxdy\to \boldsymbol{r}drd\theta d x d y → r d r d θ D D D r r r θ \theta θ ∬ D f ( x , y ) d σ = ∬ D g ( r , θ ) d σ = ∫ a b ∫ ϕ ( θ ) ψ ( θ ) g ( r , θ ) r d r d θ \iint_{D}f(x,y)d\sigma=\iint_{D}g(r,\theta)d\sigma=\int_{a}^{b}\int_{\phi(\theta)}^{\psi(\theta)}g(r,\theta)rdrd\theta ∬ D f ( x , y ) d σ = ∬ D g ( r , θ ) d σ = ∫ a b ∫ ϕ ( θ ) ψ ( θ ) g ( r , θ ) r d r d θ
三重积分# ∭ Ω f ( x , y , z ) \iiint_{\Omega}f(x,y,z) ∭ Ω f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) f(x,y,z) f ( x , y , z ) x y z xyz x y z f ( x , y , z ) f(x,y,z) f ( x , y , z ) Ω \Omega Ω
计算方法可以类比二重积分，这里不再赘述（其实是因为我不会:-）
曲线积分# 第一类曲线积分（对弧长）# ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)ds ∫ L f ( x , y ) d s d s = ( d x ) 2 + ( d y ) 2 ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2} d s = ( d x ) 2 + ( d y ) 2 x = ϕ ( t ) , y = ψ ( t ) x=\phi(t),y=\psi(t) x = ϕ ( t ) , y = ψ ( t ) t ∈ [ a , b ] t \in [a,b] t ∈ [ a , b ] d s = ( ϕ ′ ( t ) d t ) 2 + ( ψ ′ ( t ) d t ) 2 = ( ϕ ′ ( t ) ) 2 + ( ψ ′ ( t ) ) 2 d t ds=\sqrt{(\phi'(t)dt)^2+(\psi'(t)dt)^2}=\sqrt{(\phi'(t))^2+(\psi'(t))^2}\space dt d s = ( ϕ ′ ( t ) d t ) 2 + ( ψ ′ ( t ) d t ) 2 = ( ϕ ′ ( t ) ) 2 + ( ψ ′ ( t ) ) 2 d t ∫ L f ( x , y ) d s = ∫ a b f ( ϕ ( t ) , ψ ( t ) ) ( ϕ ′ ( t ) ) 2 + ( ψ ′ ( t ) ) 2 d t \int_{L}f(x,y)ds=\int_{a}^{b}f(\phi(t),\psi(t))\sqrt{(\phi'(t))^2+(\psi'(t))^2}\space dt ∫ L f ( x , y ) d s = ∫ a b f ( ϕ ( t ) , ψ ( t )) ( ϕ ′ ( t ) ) 2 + ( ψ ′ ( t ) ) 2 d t
对于由函数 y = y ( x ) y=y(x) y = y ( x ) x ∈ [ a , b ] x \in [a,b] x ∈ [ a , b ] d s = ( d x ) 2 + ( d y ) 2 = 1 + ( d y d x ) 2 d x = 1 + ( y ′ ( x ) ) 2 d x ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}\space dx=\sqrt{1+(y'(x))^2}\space dx d s = ( d x ) 2 + ( d y ) 2 = 1 + ( d x d y ) 2 d x = 1 + ( y ′ ( x ) ) 2 d x ∫ L f ( x , y ) d s = ∫ a b f ( x , y ( x ) ) 1 + ( y ′ ( x ) ) 2 d x \int_{L}f(x,y)ds=\int_{a}^{b}f(x,y(x))\sqrt{1+(y'(x))^2}\space dx ∫ L f ( x , y ) d s = ∫ a b f ( x , y ( x )) 1 + ( y ′ ( x ) ) 2 d x
特别地，若令 f ( x , y ) = 1 f(x,y)=1 f ( x , y ) = 1 弧长公式 l = ∫ L d x = ∫ a b 1 + ( y ′ ( x ) ) 2 d x l=\int_{L}dx=\int_{a}^{b}\sqrt{1+(y'(x))^2}\space dx l = ∫ L d x = ∫ a b 1 + ( y ′ ( x ) ) 2 d x
真-大沙子
