一些导体棒切割磁感线的运动学方程

352 字
2 分钟
一些导体棒切割磁感线的运动学方程
2024-10-13
数学
数学
/
物理
/
推导

最近学到 受某题启发来推导一下

初速度单导体棒切割磁感线运动学方程推导#

受力分析得原始方程

B2L2vR=−ma\frac{B^2 L^2 v}{R}=-ma

微分形式

B2L2vR=−mdvdt\frac{B^2 L^2 v}{R}=-m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}

分离变量

−dt=mRdvB2L2v-\mathrm dt = \frac{mR\mathrm dv}{B^2 L^2 v}

两边积分

−t+C=mRB2L2ln⁡v-t+C=\frac{mR}{B^2L^2}\ln v

代入初始条件

{t=0v=v0\begin{cases} t=0\\ v=v_0 \end{cases}

得

C=mRB2L2ln⁡v0C=\frac{mR}{B^2 L^2}\ln v_0

整理得

v=v0e−B2L2mRtv=v_0 e^{-\frac{B^2 L^2}{mR}t}

恒定外力单导体棒切割磁感线运动学方程推导#

受力分析得原始方程

F−B2L2vR=maF-\frac{B^2 L^2 v}{R}=ma

微分形式

F−B2L2vR=mdvdtF-\frac{B^2 L^2 v}{R}=m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}

分离变量

dt=mRdvFR−B2L2v\mathrm dt = \frac{mR\mathrm dv}{FR-B^2 L^2 v}

两边积分

t+C=−mRB2L2ln⁡(Fm−B2L2mRv)t+C=-\frac{mR}{B^2L^2}\ln\left(\frac{F}{m}-\frac{B^2 L^2}{mR}v\right)

代入初始条件

{t=0v=v0\begin{cases} t=0\\ v=v_0 \end{cases}

得

C=−mRB2L2ln⁡(Fm−B2L2mRv0)C=-\frac{mR}{B^2L^2}\ln\left(\frac{F}{m}-\frac{B^2 L^2}{mR}v_0\right)

整理得

v=(v0−FRB2L2)e−B2L2mRt+FRB2L2v=\left(v_0-\frac{FR}{B^2 L^2}\right)e^{-\frac{B^2 L^2}{mR}t}+\frac{FR}{B^2 L^2}

特别地，v0=0v_0=0 时有

v=FRB2L2(1−e−B2L2mRt)v=\frac{FR}{B^2 L^2}\left(1-e^{-\frac{B^2 L^2}{mR}t}\right)

公式解法（公式做题就是快）#

2025.2.22更新
之前学艺不精 还不知道线性微分方程的一般解法 突然发现这两个正好是一个齐次一个非齐次 非常典型了

初速度#

受力分析得原始方程

B2L2vR=−ma\frac{B^2 L^2 v}{R}=-ma

即

B2L2Rv+mv′=0\frac{B^2 L^2}{R}v+mv'=0

特征方程

B2L2R+mλ=0\frac{B^2 L^2}{R}+m\lambda=0

得到

λ=−B2L2mR\lambda=-\frac{B^2 L^2}{mR}

于是有

v=Ceλt=Ce−B2L2mRtv=Ce^{\lambda t}=Ce^{-\frac{B^2 L^2}{mR}t}

代入初始条件

{t=0v=v0\begin{cases} t=0\\ v=v_0 \end{cases}

得

C=v0C=v_0

整理得

v=v0e−B2L2mRtv=v_0 e^{-\frac{B^2 L^2}{mR}t}

恒定外力#

受力分析得原始方程

B2L2vR+ma=F\frac{B^2 L^2 v}{R}+ma=F

即

B2L2vR+mv′=F\frac{B^2 L^2 v}{R}+mv'=F

由初始条件

{t=0v=v0\begin{cases} t=0\\ v=v_0 \end{cases}

得特解

v∗=FRB2L2v^*=\frac{FR}{B^2 L^2}

特征方程

B2L2R+mλ=0\frac{B^2 L^2}{R}+m\lambda=0

得到

λ=−B2L2mR\lambda=-\frac{B^2 L^2}{mR}

于是有

v=Ceλt+v∗=Ce−B2L2mRt+FRB2L2v=Ce^{\lambda t}+v^*=Ce^{-\frac{B^2 L^2}{mR}t}+\frac{FR}{B^2 L^2}

代入初始条件得

C=v0−FRB2L2C=v_0-\frac{FR}{B^2 L^2}

整理得

v=(v0−FRB2L2)e−B2L2mRt+FRB2L2v=\left(v_0-\frac{FR}{B^2 L^2}\right)e^{-\frac{B^2 L^2}{mR}t}+\frac{FR}{B^2 L^2}

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一些导体棒切割磁感线的运动学方程
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作者
真-大沙子
发布于
2024-10-13
许可协议
CC BY-NC-SA 4.0
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