最近学到 受某题启发来推导一下
初速度单导体棒切割磁感线运动学方程推导
受力分析得原始方程
\frac{B^2 L^2 v}{R}=-ma
微分形式
\frac{B^2 L^2 v}{R}=-m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}
分离变量
-\mathrm dt = \frac{mR\mathrm dv}{B^2 L^2 v}
两边积分
-t+C=\frac{mR}{B^2L^2}\ln v
代入初始条件
\begin{cases}
t=0\\
v=v_0
\end{cases}
得
C=\frac{mR}{B^2 L^2}\ln v_0
整理得
v=v_0 e^{-\frac{B^2 L^2}{mR}t}
恒定外力单导体棒切割磁感线运动学方程推导
受力分析得原始方程
F-\frac{B^2 L^2 v}{R}=ma
微分形式
F-\frac{B^2 L^2 v}{R}=m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}
分离变量
\mathrm dt = \frac{mR\mathrm dv}{FR-B^2 L^2 v}
两边积分
t+C=-\frac{mR}{B^2L^2}\ln\left(\frac{F}{m}-\frac{B^2 L^2}{mR}v\right)
代入初始条件
\begin{cases}
t=0\\
v=v_0
\end{cases}
得
C=-\frac{mR}{B^2L^2}\ln\left(\frac{F}{m}-\frac{B^2 L^2}{mR}v_0\right)
整理得
v=\left(v_0-\frac{FR}{B^2 L^2}\right)e^{-\frac{B^2 L^2}{mR}t}+\frac{FR}{B^2 L^2}
特别地，v_0=0 时有
v=\frac{FR}{B^2 L^2}\left(1-e^{-\frac{B^2 L^2}{mR}t}\right)
公式解法（公式做题就是快）
2025.2.22更新
之前学艺不精 还不知道线性微分方程的一般解法 突然发现这两个正好是一个齐次一个非齐次 非常典型了
初速度
受力分析得原始方程
\frac{B^2 L^2 v}{R}=-ma
即
\frac{B^2 L^2}{R}v+mv'=0
特征方程
\frac{B^2 L^2}{R}+m\lambda=0
得到
\lambda=-\frac{B^2 L^2}{mR}
于是有
v=Ce^{\lambda t}=Ce^{-\frac{B^2 L^2}{mR}t}
代入初始条件
\begin{cases}
t=0\\
v=v_0
\end{cases}
得
C=v_0
整理得
v=v_0 e^{-\frac{B^2 L^2}{mR}t}
恒定外力
受力分析得原始方程
\frac{B^2 L^2 v}{R}+ma=F
即
\frac{B^2 L^2 v}{R}+mv'=F
由初始条件
\begin{cases}
t=0\\
v=v_0
\end{cases}
得特解
v^*=\frac{FR}{B^2 L^2}
特征方程
\frac{B^2 L^2}{R}+m\lambda=0
得到
\lambda=-\frac{B^2 L^2}{mR}
于是有
v=Ce^{\lambda t}+v^*=Ce^{-\frac{B^2 L^2}{mR}t}+\frac{FR}{B^2 L^2}
代入初始条件得
C=v_0-\frac{FR}{B^2 L^2}
整理得
v=\left(v_0-\frac{FR}{B^2 L^2}\right)e^{-\frac{B^2 L^2}{mR}t}+\frac{FR}{B^2 L^2}