数学随笔

在学校玩计算器时无意发现一个神奇的式子

tan(sin^{-1}(x))\rarr x

当 $x$ 初始值为 $\frac{1}{10}$ 时按上面的式子迭代19次会得到 $\frac{1}{9}$ 再继续迭代17次会得到 $\frac{1}{8}$ ；以此类推最终到1

简单整理一下定义

a_{n+1}=\frac{a_n}{\sqrt{1-a_n^2}}\space(n\in\Z)

若 $a_i=\frac{1}{k}\space(i\in\Z,k\in\Z\cap[2,+\infin))$ 则 $a_{i+2k-1}=\frac{1}{k-1}$

显然只要将表达式代入自身19次就能看出端倪了但由于我计算力低下且在学校没时间于是回家用代码测一测它

首先数值模拟就不必多说了（毕竟在学校用计算器模拟的足够多了）我直接import sympy

from sympy import Symbol, sqrt, simplify

x = Symbol('x')
for i in range(19):
    x = x / sqrt(1 - x ** 2)
    x = simplify(x)
print(x)

本来那个sqrt图省事用的是** 0.5 但是这两个在sympy里面似乎不等价 ** 0.5还是当成幂计算算了好久也算不到19

后来改sqrt之后总算快了一点但是算出来的式子有点抽象再怎么simplify()也只能得出这样的结果

\frac{x}{\sqrt{\frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} - 1}} \sqrt{\frac{3 x^{2} - 1}{2 x^{2} - 1}} \sqrt{\frac{4 x^{2} - 1}{3 x^{2} - 1}} \sqrt{\frac{5 x^{2} - 1}{4 x^{2} - 1}} \sqrt{\frac{6 x^{2} - 1}{5 x^{2} - 1}} \sqrt{\frac{7 x^{2} - 1}{6 x^{2} - 1}} \sqrt{\frac{8 x^{2} - 1}{7 x^{2} - 1}} \sqrt{\frac{9 x^{2} - 1}{8 x^{2} - 1}} \sqrt{\frac{10 x^{2} - 1}{9 x^{2} - 1}} \sqrt{\frac{11 x^{2} - 1}{10 x^{2} - 1}} \sqrt{\frac{12 x^{2} - 1}{11 x^{2} - 1}} \sqrt{\frac{13 x^{2} - 1}{12 x^{2} - 1}} \sqrt{\frac{14 x^{2} - 1}{13 x^{2} - 1}} \sqrt{\frac{15 x^{2} - 1}{14 x^{2} - 1}} \sqrt{\frac{16 x^{2} - 1}{15 x^{2} - 1}} \sqrt{\frac{17 x^{2} - 1}{16 x^{2} - 1}} \sqrt{\frac{18 x^{2} - 1}{17 x^{2} - 1}} \sqrt{\frac{19 x^{2} - 1}{18 x^{2} - 1}} \sqrt{1 - x^{2}}}

显然sympy有点注意力底下了连明显的分式因子都消不掉

于是启动mathematica

Subscript[a, n_] := Subscript[a, n-1] / Sqrt[1-Subsuperscript[a, n-1, 2]]
Subscript[a, 0] := x
Subscript[a, 19] // FullSimplify

不得不说mathematica的计算能力还是一流的很快得到结果

a_{19}=\frac{a_0}{\sqrt{1-19a_0^2}}

虽然mathematica暂不能（我不会写）给出 $a_n$ 关于 $a_0$ 的表达式但经过更多数据的测试我们可以有根据地猜测

a_n=\frac{a_0}{\sqrt{1-na_0^2}}\space(n\in\N^*)

即

a_{n}=\frac{a_k}{\sqrt{1-(n-k)a_k^2}}\space(n\in\N^*,k\in\N,n>k)

由此显然可以得出开头的结论

顺便用matplotlib.pyplot画了个 $a_0=0.1$ 时的图

下面是用desmos直接画表达式的图

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