一些简谐运动的运动学方程推导

从能量角度出发

理想情况下无能量损失 得到方程

$\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2=E_0$

微分形式

$m\left(\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\right)^2+kx^2=2E_0$

分离变量

$\sqrt{\frac{m}{2E_0-kx^2}}\mathrm dx=\mathrm dt$

两边积分

$\sqrt{\frac{m}{2E_0}}\int{\frac{1}{\sqrt{1-\frac{k}{2E_0}x^2}}\mathrm dx}=\int{\mathrm dt}$

换元令

$u=\sqrt{\frac{k}{2E_0}}x$

则

$\sqrt{\frac{m}{k}}\int{\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\mathrm du}=\int{\mathrm dt}$

即

$\sqrt{\frac{m}{k}}(\arcsin{u}+C_1)=t+C_2$

回代得

$\sqrt{\frac{m}{k}}\left(\arcsin{\sqrt{\frac{k}{2E_0}}x}+C_1\right)=t+C_2$

注意到 $\sqrt{\frac{m}{k}}$ 为常数，故可合并常数

$\sqrt{\frac{m}{k}}\left(\arcsin{\sqrt{\frac{k}{2E_0}}x}+\varphi\right)=t$

整理得

$x=\sqrt{\frac{2E_0}{k}}\sin{\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t+\varphi\right)}$

由此可得简谐运动最大振幅 $A=\sqrt{\frac{2E_0}{k}}$ ，周期 $T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ ，初相位 $\varphi$

从受力角度出发

根据简谐运动回复力定义 得到方程

$-kx=ma$

即

$kx+mx''=0$

特征方程

$k+m\lambda^2=0$

得到

$\lambda=\pm\sqrt{\frac{k}{m}}i$

于是有

$x=C_1 e^{\lambda_1 t}+C_2 e^{\lambda_2 t}\\$

由于

$x\in\R$

所以

$x=\overline{x}$

即

$C_1 e^{\lambda_1 t}+C_2 e^{\lambda_2 t}=\overline{C_1}e^{-\lambda_1 t}+\overline{C_2}e^{-\lambda_2 t}$

又因为

$\lambda_1+\lambda_2=0$

故

$C_1=\overline{C_2}$

不妨设

$C_1=re^{i\varphi},\space C_2=re^{-i\varphi}$

所以

$\begin{aligned} x&=re^{\lambda_1 t+\varphi}+re^{\lambda_2 t-\varphi}\\ &=re^{\lambda_1 t+\varphi}+re^{-(\lambda_1 t+\varphi)}\\ &=2r\cos{(\lambda_1 t+\varphi)} \end{aligned}$

即可得

$x=x_0\cos{\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t+\varphi\right)}$

显然和上一个方法的结果是自洽的