最近学到 受某题启发来推导一下

初速度单导体棒切割磁感线运动学方程推导

受力分析得原始方程

B2L2vR=−ma\frac{B^2 L^2 v}{R}=-ma

微分形式

B2L2vR=−mdvdt\frac{B^2 L^2 v}{R}=-m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}

分离变量

−dt=mRdvB2L2v-\mathrm dt = \frac{mR\mathrm dv}{B^2 L^2 v}

两边积分

−t+C=mRB2L2ln⁡v-t+C=\frac{mR}{B^2L^2}\ln v

代入初始条件

{t=0v=v0\begin{cases} t=0\\ v=v_0 \end{cases}

得

C=mRB2L2ln⁡v0C=\frac{mR}{B^2 L^2}\ln v_0

整理得

v=v0e−B2L2mRtv=v_0 e^{-\frac{B^2 L^2}{mR}t}

恒定外力单导体棒切割磁感线运动学方程推导

受力分析得原始方程

F−B2L2vR=maF-\frac{B^2 L^2 v}{R}=ma

微分形式

F−B2L2vR=mdvdtF-\frac{B^2 L^2 v}{R}=m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}

分离变量

dt=mRdvFR−B2L2v\mathrm dt = \frac{mR\mathrm dv}{FR-B^2 L^2 v}

两边积分

t+C=−mRB2L2ln⁡∣Fm−B2L2mRv∣t+C=-\frac{mR}{B^2L^2}\ln\left|\frac{F}{m}-\frac{B^2 L^2}{mR}v\right|

代入初始条件

{t=0v=v0\begin{cases} t=0\\ v=v_0 \end{cases}

得

C=−mRB2L2ln⁡∣Fm−B2L2mRv0∣C=-\frac{mR}{B^2L^2}\ln\left|\frac{F}{m}-\frac{B^2 L^2}{mR}v_0\right|

整理得

v=FRB2L2−∣v0−FRB2L2∣e−B2L2mRtv=\frac{FR}{B^2 L^2}-\left|v_0-\frac{FR}{B^2 L^2}\right|e^{-\frac{B^2 L^2}{mR}t}

特别地，v=0v=0 时有

v=FRB2L2(1−e−B2L2mRt)v=\frac{FR}{B^2 L^2}\left(1-e^{-\frac{B^2 L^2}{mR}t}\right)