正弦式交变电流的等效电流

最近了解到交流电有效值（等效电流）的概念 尝试推导一下发现这是个二倍角公式的应用（ 记录一下

根据定义，交变电流与其等效电流在相同时间内通过相同电阻产生的热量相等
于是有

$\int^T_0{i^2R\mathrm{d}t}=I^2RT$

$I=\sqrt{\frac{1}{T}\int^T_0{i^2\mathrm{d}t}}$

代入正弦交变电流表达式

$\begin{cases} i=I_m\sin{\omega t}\\ \omega=\frac{2\pi}{T} \end{cases}$

得

$\begin{aligned} I&=\sqrt{\frac{1}{T}\int^T_0{I_m^2}\sin^2{\omega t\mathrm{d}t}}\\ &=I_m\sqrt{\frac{1}{T}\int^T_0{\frac{1-\cos{2\omega t}}{2}\mathrm{d}t}}\\ &=I_m\sqrt{\frac{1}{T}(\frac{T}{2}-\frac{1}{2}\int^T_0{\cos{2\omega t}\mathrm{d}t})}\\ &=I_m\sqrt{\frac{1}{T}(\frac{T}{2}-\frac{1}{2}\left.\sin{2\omega t}\right|^T_0)}\\ &=\frac{\sqrt{2}}{2}I_m\\ &\approx 0.707I_m \end{aligned}$